Is $a^b+b^a$ unique for all integers $a$ and $b$?
Any proof?
Asked
Active
Viewed 543 times
3
-
1See math notation guide and advice on asking good questions. – Jul 30 '14 at 20:24
-
What thoughts do you have? – Vladhagen Jul 30 '14 at 20:39
-
if a or b not equal to 1. then $a^b + b^a$ unique? – mridul Jul 30 '14 at 20:43
2 Answers
14
No. For example, $$ 2^3 + 3^2 = 16^1 + 1^{16} $$
Ben Grossmann
- 225,327
-
14Yes, nots of examples with $a=1$. In general $$a^b + b^a = (a^b+b^a-1)^1 + 1^{a^b+b^a-1}$$ – Thomas Andrews Jul 30 '14 at 20:22
-
2Also, we trivially have $a^b+b^a = b^a+a^b$, so we might want to add a restriction like $a \ge b$. – JimmyK4542 Jul 30 '14 at 20:26
-
2
-
3
-
5
6
I found no duplicates. These are the 744 smallest $a^b + b^a, \; \; a,b \geq 2.$ Evidently the closest near misses that ever happen are $(a=2,b=2n)$ and the very slightly larger $(a=4,b=n),$ let's say $n \geq 9.$
8 2 2
17 2 3
32 2 4
54 3 3
57 2 5
100 2 6
145 3 4
177 2 7
320 2 8
368 3 5
512 4 4
593 2 9
945 3 6
1124 2 10
1649 4 5
2169 2 11
2530 3 7
4240 2 12
5392 4 6
6250 5 5
7073 3 8
8361 2 13
16580 2 14
18785 4 7
20412 3 9
23401 5 6
32993 2 15
60049 3 10
65792 2 16
69632 4 8
93312 6 6
94932 5 7
131361 2 17
178478 3 11
262468 2 18
268705 4 9
397585 6 7
423393 5 8
524649 2 19
533169 3 12
1048976 2 20
1058576 4 10
1596520 3 13
1647086 7 7
1941760 6 8
2012174 5 9
2097593 2 21
4194788 2 22
4208945 4 11
4785713 3 14
7861953 7 8
8389137 2 23
9865625 5 10
10609137 6 9
14352282 3 15
16777792 2 24
16797952 4 12
33554432 8 8
33555057 2 25
43050817 3 16
45136576 7 9
48989176 5 11
61466176 6 10
67109540 2 26
67137425 4 13
129145076 3 17
134218457 2 27
177264449 8 9
244389457 5 12
268436240 2 28
268473872 4 14
292475249 7 10
364568617 6 11
387426321 3 18
536871753 2 29
774840978 9 9
1073742724 2 30
1073792449 4 15
1162268326 3 19
1173741824 8 10
1221074418 5 13
1996813914 7 11
2147484609 2 31
2179768320 6 12
3486792401 3 20
4294968320 2 32
4295032832 4 16
4486784401 9 10
6104053449 5 14
8589935681 2 33
8804293473 8 11
10460362464 3 21
13065520825 6 13
13877119009 7 12
17179870340 2 34
17179952705 4 17
20000000000 10 10
30518337500 5 15
31381070257 3 22
33739007300 9 11
34359739593 2 35
68719478032 2 36
68719581712 4 18
69149458432 8 12
78371693632 6 14
94143190994 3 23
96951758924 7 13
125937424601 10 11
137438954841 2 37
152588939201 5 16
274877908388 2 38
274878037265 4 19
282429550305 3 24
287589316833 9 12
470196375201 6 15
549755815409 2 39
550571544609 8 13
570623341222 11 11
678328486353 7 14
762940872982 5 17
847288625068 3 25
1061917364224 10 12
1099511629376 2 40
1099511787776 4 20
2199023257233 2 41
2541865845905 3 26
2552470327702 9 13
2821126684672 6 16
3814699155193 5 18
3881436747409 11 12
4398046512868 2 42
4398046705585 4 21
4399522300160 8 14
4747732369318 7 15
7625597504670 3 27
8796093024057 2 43
10137858491849 10 13
16926683582305 6 17
17592186046352 2 44
17592186278672 4 22
17832200896512 12 12
19073488804224 5 19
22876792476913 3 28
22897453501745 9 14
33233199005057 7 16
35184372090857 2 45
35186934979457 8 15
36314872537968 11 13
68630377389272 3 29
70368744179780 2 46
70368744457505 4 23
95367434840625 5 20
100289254654976 10 14
101559990680640 6 18
130291290501553 12 13
140737488357537 2 47
205891132121649 3 30
205929575454024 9 15
232630924325880 7 17
281474976712960 2 48
281474977042432 4 24
281479271677952 8 16
383799398752905 11 14
476837162287226 5 21
562949953423713 2 49
605750213184506 13 13
609359787056377 6 19
617673396313738 3 31
1000576650390625 10 15
1125899906845124 2 50
1125899907233249 4 25
1340612376924160 12 14
1628414210130481 7 18
1853020188884609 3 32
1853088908328577 9 16
2251799813687849 2 51
2251806789442689 8 17
2384185796169257 5 22
3656158504062976 6 20
4185897925275026 11 15
4503599627373200 2 52
4503599627827472 4 26
4731091158953433 13 14
5559060566591460 3 33
9007199254743801 2 53
10001099511627776 10 16
11398896079244882 7 19
11920928961514468 5 23
15536767912476993 12 15
16677181699705873 3 34
16677300287543066 9 17
18014398509484900 2 54
18014398510013425 4 27
18014409529442560 8 18
21936950726143977 6 21
22224013651116032 14 14
36028797018966993 2 55
45967322049616577 11 16
50031545099042582 3 35
53132088082450132 13 15
59604644783353249 5 24
72057594037931072 2 56
72057594038542592 4 28
79792267577612001 7 20
100002015993900449 10 17
131621703955647040 6 22
144115188075859121 2 57
144115205059418913 8 19
150094635297045777 3 36
150094833656289489 9 18
184761021583202849 14 15
185165733871747072 12 16
288230376151715108 2 58
288230376152419025 4 29
298023223886718750 5 25
450283905891048016 3 37
505481300395601404 11 17
558545865884372548 7 21
576460752303426969 2 59
669920208810550337 13 16
789730223201638705 6 23
875787780761718750 15 15
1000003570467226624 10 18
1152921504606850576 2 60
1152921504607656976 4 30
1152921530206846976 8 20
1350851717673046961 3 38
1350852040360689868 9 19
1490116119396647001 5 26
2219193728977666753 12 17
2250010931847299072 14 16
2305843009213697673 2 61
3909821051077345937 7 22
4052555153019035586 3 39
4611686018427391748 2 62
4611686018428311425 4 31
4738381338512719872 6 24
5559981581902310713 11 18
7450580596938177032 5 27
7721329860319737601 15 16
8660320497414243870 13 17
9223372036854779777 2 63
9223372074677635169 8 21
10000006131066257801 10 19
12157665459056992801 3 40
12157665971056928801 9 20
18446744073709555712 2 64
18446744073710600192 4 32
26624490112266670080 12 18
27368747343485741790 7 23
28430288030173842001 6 25
30659724555890596833 14 17
36472996377170855324 3 41
36893488147419103232 16 16
36893488147419107457 2 65
37252902984636350993 5 28
61159206938673444510 11 19
73786976294838210820 2 66
73786976294839392385 4 33
73786976349714080000 8 22
100000010240000000000 10 20
101388548387203175168 15 17
109418989131512433297 3 42
109418989925792405790 9 21
112476229916823064297 13 18
147573952589676417417 2 67
170581728179887124032 6 26
186264514923116214274 5 29
191581231385152885825 7 24
295147905179352830480 2 68
295147905179354162192 4 34
319482212685541993009 12 19
328256967394537157134 3 43
343809097055019694337 16 17
427253667578218823680 14 18
590295810358705656473 2 69
590295810437016636993 8 23
672750199732560009201 11 20
931322574615502815625 5 30
984770902183611318065 3 44
984770903390880450673 9 22
1000000016679880978201 10 21
1023490369077856670025 6 27
1180591620717411308324 2 70
1180591620717412804049 4 35
1341068619670068416432 7 25
1461962343358908367736 13 19
1484638520651877849057 15 18
1654480523772673528354 17 17
2361183241434822611889 2 71
2954312706550833789768 3 45
3833764088447475122176 12 20
4656612873077421207276 5 31
4722366482869645218880 2 72
4722366482869646893312 4 36
4722366482979720527872 8 24
4843806013966239465472 16 18
5977102965634697281305 14 19
6140942214465297387520 6 28
7400250294535660643432 11 21
8862938119652501193265 3 46
8862938121453653757392 9 23
9387480337655786115825 7 26
9444732965739290432721 2 73
10000000026559922791424 10 22
16248996011806421522977 17 18
18889465931478580860260 2 74
18889465931478582728945 4 37
19005045694880799438801 13 20
22183559327560880657674 15 19
23283064365386996445057 5 32
26588814358957503391610 3 47
36845653286789487806617 6 29
37778931862957161715193 2 75
37778931863109749600193 8 25
46005127265197212852753 12 21
65712362363544740492746 7 27
75557863725914323424912 2 76
75557863725914325504272 4 38
75846305139481944586817 16 19
78692816150593075150848 18 18
79766443076872509973953 3 48
79766443079514317403585 9 24
81402749971158062524649 11 22
83669893825284801560576 14 20
100000000041426511213649 10 23
116415321826934853588518 5 33
151115727451828646844201 2 77
221073919720734086899776 6 30
239299329230617529707732 3 49
244552822542936127033092 17 19
247064683545828131823874 13 21
302231454903657293682628 2 78
302231454903657295989985 4 39
302231454903866120741120 8 26
332558441007965087890625 15 20
459986536544753453905313 7 28
552061451767439048642560 12 22
582076609134674117701049 5 34
604462909807314587359329 2 79
717897987691852588895249 3 50
717897987695667286035874 9 25
812362695653248917890473 18 19
895430244208047130160458 11 23
1000000000063403380965376 10 24
1171358819873919743356745 14 21
1208925819614629174712576 2 80
1208925819614629177266176 4 40
1209581179614629174706176 16 20
1326443518324401034902337 6 31
2153693963075557766443398 3 51
2417851639229258349418913 2 81
2417851639229540778948833 8 27
2910383045673370413850000 5 35
3211839160764912988240121 13 22
3219905755813196976713916 7 29
3956839311320627178247958 19 19
4077338606647572522401601 17 20
4835703278458516698831428 2 82
4835703278458516701650465 4 41
4987953217438059270041676 15 21
6461081889226673299072849 3 52
6461081889232102802611217 9 26
6624737288863861443140449 12 23
7958661109946401958133760 6 32
9671406556917033397656297 2 83
9849732677329292237880865 11 24
10000000000095367431640625 10 25
13010380216396078174437376 18 20
14551915228366851867106801 5 36
16398984285177094533693440 14 22
19342813113834066795305872 2 84
19342813113834066798410512 4 42
19342813113834444597297152 8 28
19344243682524308780627137 16 21
19383245667680019896945600 3 53
22539340290692279957863249 7 30
38685626227668133590604857 2 85
41753905917449478303513180 13 23
42832853457545958193355601 19 20
47751966659678406597819585 6 33
58149737003040059690547633 3 54
58149737003047685287875156 9 27
69121975855503814572721958 17 21
72759576141834259102547082 5 37
74818413306860160187442593 15 22
77371252455336267181202660 2 86
77371252455336267184614065 4 43
79496847239911191569498112 12 24
100000000000141167095653376 10 26
108347059436267907832845876 11 25
154742504910672534362398097 2 87
154742504910673034608803489 8 29
157775382034845834127656854 7 31
174449211009120179071336882 3 55
209715200000000000000000000 20 20
229585704479817820020970353 14 23
230099132687526122669662329 18 21
286511799958070433382914112 6 34
309485009821345068724788800 2 88
309485009821345068728529152 4 44
309488021182841407789924352 16 22
363797880709171295245250793 5 38
523347633027360537213687137 3 56
523347633027371115669464929 9 28
542800771250858851236953185 13 24
618970019642690137449570033 2 89
727457992333704231799337200 19 21
953962166500294774376689057 12 25
1000000000000205891132094649 10 27
1104427674243920680665037569 7 32
1122274413037117636022104982 15 23
1174629126474067918407215201 17 22
1191817653776391286947120537 11 26
1237940039285380274899132324 2 90
1237940039285380274903224849 4 45
1237940039285380930999124224 8 30
1570042899082081611640719756 3 57
1719070799748422592866923801 6 35
1818989403545856475920302324 5 39
2375370429446951548637196401 20 21
2475880078570760549798256729 2 91
3214199721453461059919675392 14 24
4131886033076557436047065088 18 22
4710128697246244834921798801 3 58
4710128697246259342067579558 9 29
4951760157141521099596505360 2 92
4951760157141521099600974352 4 46
4951766289751936780595145857 16 23
7056410016356932785415505318 13 25
7730993719707444566755537384 7 33
9094947017729282379252790625 5 40
9903520314283042199193002441 2 93
9903520314283043052084031233 8 31
10000000000000296196766695424 10 28
10314424798490535548348731392 6 36
11447545997383710511877263360 12 26
11685174036771965042762248842 21 21
13109994191505489427628015894 11 27
13602045395387109273447187769 19 22
14130386091738734504765016446 3 59
16834112700885515530508997249 15 24
19807040628566084398385996420 2 94
19807040628566084398390867265 4 47
19967709950899084465527991816 17 23
39614081257132168796771984193 2 95
42391158275216203514294649201 3 60
42391158275216223197294433201 9 30
42648469498686404044207947776 20 22
44998795843101276099134367249 14 25
45474735088646411895867809326 5 41
54116956037952111721483010993 7 34
61886548790943213279597420745 6 37
74350957764931823161604077201 18 23
79228162514264337593543959552 2 96
79228162514264337593549258752 4 48
79228162514264338693055578112 8 32
79228174630839128538650509312 16 24
91733330195749769531603352585 13 26
100000000000000420707233300201 10 29
127173474825648610542883526584 3 61
137370551967609473297883973329 12 27
138213776357206521921578463913 21 22
144209936106507527547143535953 11 28
158456325028528675187087910081 2 97
227373675443232059478890456857 5 42
252511683871746063232421875000 15 25
257904243416235317958787975746 19 23
316912650057057350374175810948 2 98
316912650057057350374181566145 4 49
339448962112406887326061532545 17 24
371319292745659279665201102400 6 38
378818692265664781747056922818 7 35
381520424476945831628650137137 3 62
381520424476945858068272059480 9 31
629983141346387198306510323712 14 26
633825300114114700748351612489 2 99
633825300114114702154760220929 8 33
682855754728439114793293447168 22 22
840576955831334586342923895201 20 23
1000000000000000590490000000000 10 30
1136868377216160297393945836568 5 43
1144561273430837494885949946474 3 63
1192533292516544571712213984384 13 27
1267650600228229401496703215376 2 100
1267650600228229401496709455376 4 50
1267650623511293766883666096001 16 25
1338265824199474286821115953152 18 24
1586309297171503774924202410720 11 29
1648446623609744762216132902912 12 28
2227915756473955677976659739857 6 39
2535301200456458802993406420953 2 101
2616052459228913777816325459284 21 23
2651730845859653471857387545697 7 36
3433683820292512484657849351425 3 64
3433683820292512519842221178113 9 32
3787675245783611671539876316001 15 26
4898930430490756842869366562145 19 24
5070602400912917605986812831908 2 102
5070602400912917605986819586705 4 51
5070602400912917607772606726400 8 34
5684341886080801486969159056849 5 44
5770627994425011513613642256682 17 25
8419259736788826438132968480177 22 23
8819763978055700119576496777513 14 27
10000000000000000819628286980801 10 31
10141204801825835211973625653617 2 103
10301051460877537453973547542468 3 65
13367494538843734067842941976576 6 40
15502932802668898326692033053169 13 28
16781235988717840603673710821376 20 24
17449402268886425033258803753801 11 30
18562115921017574302548095548340 7 37
19781359483314504342195729754993 12 29
20282409603651670423947251296832 2 104
20282409603651670423947258597632 4 52
20282409647260413323376125345792 16 26
24088673762858333010767090334193 18 25
28421709430404007434845155231250 5 45
30903154382632612361920642091025 3 66
30903154382632612408332126205482 9 33
40564819207303340847894502583057 2 105
40564819207303340850146377962657 8 35
41760935999695824068710065821134 23 23
54204678106500758618679652975905 21 24
56815128664549597645363089558018 15 27
80204967233062404407037825963697 6 41
81129638414606681695789005155300 2 106
81129638414606681695789013034545 4 53
92709463147897837085761925711350 3 67
93076859486136798707904776296124 19 25
98100667143750155827123415402145 17 26
100000000000000001125899906842624 10 32
123476695691429994946059724390400 14 28
129934811447123020117286561281041 7 38
142108547152020037174225059478601 5 46
162259276829213363391578010299577 2 107
167566606145758453496034447327232 22 24
191943424957750505912623737696642 11 31
201538126434621411427216914973962 13 29
237376313799770337769950291431424 12 30
278128389443693511257285776546193 3 68
278128389443693511318002768998225 9 34
324518553658426726783156020587920 2 108
324518553658426726783156029079312 4 54
324518553658426726785977130483712 8 36
324518553738193169860028530439617 16 27
335553414947017729282379150390625 20 25
433595895276486083604393970892800 18 26
481229803398374426442203944188480 6 42
535823088031930481975544151644865 23 24
649037107316853453566312041164393 2 109
710542735760100185871124496923132 5 47
834385168331080533771857329023792 3 69
852226929929026929437422228846657 15 28
909543680129861140820342250895822 7 39
1000000000000000001531578985264449 10 33
1136499539598167498800201218286126 21 25
1298074214633706907132624082317124 2 110
1298074214633706907132624091455649 4 55
1667711324322382250589093493726220 17 27
1728673739677768659799892745451065 14 29
1768454184544130901557473069952457 19 26
2111377674535255321574412273173889 11 32
2503155504993241601315571986428849 3 70
2503155504993241601394387624757724 9 35
2596148429267413814265248164622369 2 111
2596148429267413814268760644063969 8 37
2619995643649960903610551432833049 13 30
2667471553700568248898162945687552 24 24
2848515765597238463610187285726849 12 31
2887378820390246558653197052303465 6 43
3552713678800500929355621592694593 5 48
3641208380060290648646463306863057 22 25
5192296858534827628530496329232640 2 112
5192296858534827628530496339054592 4 56
5192296858677561978477171275988992 16 28
6366805760909027985741598979224001 7 40
6710906328148895209409152340197376 20 26
7509466514979724803946715958615458 3 71
7804725642495302907668611607106201 18 27
10000000000000000002064377754059776 10 34
10384593717069655257060992658452961 2 113
11187876119071565503348037263205568 23 25
12783403948867568299980355752800324 15 29
17324272922341479351919151641956352 6 44
17763568394002504646778106971928374 5 49
20769187434139310514121985316893380 2 114
20769187434139310514121985327436385 4 57
20769187434139310514126333109018880 8 38
22528399544939174411840147875145889 3 72
22528399544939174411941707831441057 9 36
23225154419887808191543874310035948 11 33
23862233616248485046193132474062297 21 26
24201432355485073718841037243826176 14 30
28351092480864262686237005875592129 17 28
33600616513503347404797680951794702 19 27
34059943367449308902493466071872228 13 31
34182189187166853264290346572972032 12 32
35562372323207319916133576686141249 24 25
41538374868278621028243970633773993 2 115
44567640326363195900190240728841888 7 41
67585198634817523235520443624706940 3 73
79995000268485778198095856853319680 22 26
83076749736557242056487941267534992 2 116
83076749736557242056487941278838032 4 58
83076749736807488530168288616309057 16 29
88817841970012523233890533759765625 5 50
100000000000000000002758547353515625 10 35
103945637534048876111514874617620601 6 45
134217770391158275216203514294433201 20 27
140485060630123916641507092767703040 18 28
166153499473114484112975882535056761 2 117
166153499473114484112981234544303553 8 39
177635683940025046467781066894531250 25 25
191751059232898435575491363525390625 15 30
202755595904452569706561330873358993 3 74
202755595904452569706691292612748846 9 37
254402911299131746297259216731949265 23 26
255476698618765889621208289397432825 11 34
311973482284542371301330552361309297 7 42
332306998946228968225951765070100068 2 118
332306998946228968225951765082203505 4 59
338820052976785092851109742209886785 14 31
410186270246002227004315618546485633 12 33
442779263776840735197801339567888513 13 32
444089209850062616169452667581353376 5 51
481968572114008062828141898337909806 17 29
501097169733194832470153490157237368 21 27
608266787713357709119683992619283182 3 75
623673825204293256669089207357426752 6 46
638411687059052968161013748384747633 19 28
664613997892457936451903530140186449 2 119
777338493235300870639470742394109952 24 26
1000000000000000000003656158440062976 10 36
1329227995784915872903807060280358976 2 120
1329227995784915872903807060293304576 4 60
1329227995784915872903813613880344576 8 40
1329227995785346340113807060280344576 16 30
1759624537630700198637557167999460617 22 27
1824800363140073127359051977857022897 3 76
1824800363140073127359217193957846769 9 38
2183814375991796599109312524572443450 7 43
2220446049250313080847263336561844657 5 52
2457219879258280669724058501120110001 25 26
2528731089538420637464822941346299529 18 29
2658455991569831745807614120560703793 2 121
2684354647732524600823436081182539776 20 28
2810243684806424785157763060726451726 11 35
2876265888493284765289362297566789326 15 31
3742042951225759540014535198077994465 6 47
4743480741674981883292064017201233920 14 32
4922235242952026706423533926815109120 12 34
5316911983139663491615228241121393188 2 122
5316911983139663491615228241135224145 4 61
5474401089420219382077155933570208296 3 77
5756130429098929132996425491382712366 13 33
5844045430713770632139718622054675130 23 27
8193465725827679572854001028792218849 17 30
10000000000000000000004808584372417849 10 37
10523018985121038257342040961469473489 21 28
10633823966279326983230456482242771737 2 123
10633823966279326983230464467167985729 8 41
11102230246251565404236316681326398618 5 53
12129822000692483091090492510943759848 19 29
12312239160414314621593348576800407552 26 26
15286700631942576193765186088554636065 7 44
16423203268260658146231467800709729841 3 78
16423203268260658146231676529070414048 9 39
18460091778723266910795942428467132065 24 27
21267647932558653966460912964485528592 2 124
21267647932558653966460912964500289552 4 62
21267647932559381389582660149749341697 16 31
22452257707354557240087211136023265280 6 48
30912680532870672635804974640729720497 11 36
38711128740778273498128183088979640320 22 28
42535295865117307932921825928971042057 2 125
43143988327398957279342419750374600193 15 32
45517159608290760844793714778287898624 18 30
49269609804781974438694403402128258906 3 79
53687091376994576151109753197786640401 20 29
55511151231257827021181583405000180649 5 54
56119418018971184730301267397159876932 25 27
59066822915424320451824579425520737393 12 35
66408730383449731654137887980859649473 14 33
74829695578286078094567232718710148393 13 34
85070591730234615865843651857942068740 2 126
85070591730234615865843651857957805825 4 63
85070591730234615865843661540594049280 8 42
100000000000000000000006278211847988224 10 38
107006904423598033356356300758607237932 7 45
134395779951925146963005629707810699233 23 28
134713546244127343440523266756597336097 6 49
139288917338873564578192180232646403344 17 31
147808829414345923316083210206383809601 3 80
147808829414345923316083472350383297601 9 40
170141183460469231731687303715884121857 2 127
176482312353646748226944999299114553465 26 27
220983352233660046502185287191338126610 21 29
230466617908817829715509519405933293401 19 30
277555756156289135105907917023208362500 5 55
340039485861577398992584799927541447384 11 37
340282366920938463463374607431768227840 2 128
340282366920938463463374607431784988672 4 64
340282366920939672389194222060942917632 16 32
442555446422920909403146370069385183232 24 28
443426488243037769948249630619150424244 3 81
647159824910983852445103850763613902832 15 33
680564733841876926926749214863536439553 2 129
680564733841876926926749226551736700513 8 43
708801874985091845386082688347890778112 12 36
749048330965186233494494103130382150865 7 46
808281277464764060643139600472161293376 6 50
819308872942959180024285911047721345473 18 31
851643467938976245039496939059670607833 22 29
886852976486075539896499261238299785606 27 27
929722225368296220487989197108051197952 14 34
972786042517719014292848800932863684232 13 35
1000000000000000000000008140406085191601 10 39
1073741824348678440100000000000000000000 20 30
1330279464729113309844748891857450229777 3 82
1330279464729113309844749219239384072370 9 41
1361129467683753853853498429727072862724 2 130
1361129467683753853853498429727090696449 4 65
1387778780781445675529539585114076122401 5 56
1389288689815394899967521214498244988193 25 28
2367911594760505931470333965454541844993 17 32
2722258935367507707706996859454145708809 2 131
3091062959814255272215316579358416079052 23 29
3740434344477351388916714277413605409193 11 38
3990838394187339929534246675572349607014 3 83
4203814289170616626362037441730686484480 26 28
4378865740068379748084651264907446852090 19 31
4640650299577517303520051333566036654601 21 30
4849687664788584363858837602756814048057 6 51
5243338316756303634461458719368574576006 7 47
5444517870735015415413993718908291400720 2 132
5444517870735015415413993718908310358032 4 66
5444517870735015415413993732956515008512 8 44
5444517870735017393399195181467169317377 16 33
6938893903907228377647697925568228645182 5 57
8505622499821102144582714636120669969873 12 37
9707397373664756981388253830346544295649 15 34
10000000000000000000000010485760000000000 10 40
Will Jagy
- 139,541
-
I think this answer could be greatly improved by providing both of the representations of the numbers in the left column. – Ryan Aug 05 '14 at 03:13
-
@Ryan, I found no duplicates. I put as many lines as I could given the bound of 30,000 characters. There are some with many identical digits, in the last ten lines, four in a row, $(2,132); (4,66); (8,44); (16,33).$ The values agree for many digits but are not equal. – Will Jagy Aug 05 '14 at 03:16
-
Oh, I get it now. You are showing every combination made without $0$ or $1$. That clarification might be nice, because I read your answer right after reading Omnomnomnom's, thinking that you were listing counterexamples. – Ryan Aug 05 '14 at 03:22
-